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AlphaProof Nexus de Google DeepMind est au cœur d’un article publié dans Science sur l’utilisation de preuves formelles générées par l’IA po...
AlphaProof Nexus de Google DeepMind est au cœur d’un article publié dans Science sur l’utilisation de preuves formelles générées par l’IA pour traiter des problèmes de recherche ouverts. L’article fait état de neuf réussites parmi 353 problèmes d’Erdős ouverts et de 44 conjectures de l’OEIS prouvées parmi 492, ainsi que de travaux dans d’autres domaines des mathématiques.
Un exemple mis en avant résout deux questions posées initialement par Erdős et Sárközy en 1970. La portée plus large tient à la méthode de travail : un modèle de langage propose des arguments dans un langage formel, puis Lean vérifie la validité de chaque étape de la preuve.
Cette combinaison répond à une faiblesse bien connue des mathématiques générées. Un argument qui semble convaincant n’est pas nécessairement correct ; un vérificateur formel fournit un critère d’acceptation plus strict, à condition que l’énoncé formalisé représente fidèlement le problème visé.
L’exemple concerne le problème d’Erdős n° 12. Il porte sur des ensembles infinis d’entiers positifs soumis à la restriction suivante : aucun élément distinct a, b et c ne doit vérifier à la fois b > a et c > a, avec a qui divise b + c.
Par exemple, 2, 3 et 5 ne peuvent pas tous appartenir à un tel ensemble : 2 divise 3 + 5. Le défi consiste à éviter ces relations de divisibilité tout en conservant de nombreux entiers.
Énoncé du problème reproduit dans la source ; la page des problèmes d’Erdős en ligne indique le statut actuel.
La première question demande si un tel ensemble infini peut contenir au moins un nombre de membres égal à une constante positive multipliée par sqrt(N) jusqu’à N, pour tout N suffisamment grand. La construction établit que la réponse est oui.
La source décrit une construction par blocs. Des conditions de congruence, organisées au moyen du théorème chinois des restes, empêchent les interactions interdites entre les blocs. Par exemple, un nombre premier peut diviser des éléments d’un bloc tandis que les blocs suivants sont congrus à 1 modulo ce nombre premier, ce qui empêche la divisibilité requise.
L’argument doit également maîtriser les écarts entre les blocs. Choisir suffisamment d’éléments dans le bloc en cours pour respecter la borne de comptage jusqu’au début du suivant évite que l’ensemble ne devienne trop clairsemé sur une portion intermédiaire des entiers.
Il s’agit d’un aperçu de la stratégie de preuve, et non d’une preuve complète. Les énoncés formels et les constructions détaillées sont accessibles via les liens de la discussion publique.
La deuxième question demande s’il existe un exposant fixe inférieur à 1 qui puisse borner la fonction de comptage pour une infinité de valeurs de N, et ce pour tout ensemble satisfaisant la restriction. La réponse est non.
Pour tout c positif fixé, la construction peut produire un ensemble admissible dont le nombre d’éléments reste finalement au moins égal à N^(1-c). Ainsi, aucune borne unique de ce type ne fonctionne uniformément pour tous ces ensembles.
La page publique des problèmes d’Erdős attribue la construction à DeepMind et recense les simplifications et améliorations apportées ensuite par la communauté. Point essentiel, la troisième question du problème n° 12, qui porte sur la convergence de la somme des inverses, reste ouverte. Résoudre les deux premières parties ne revient pas à résoudre toutes les questions du problème numéroté.
Après la publication de la preuve, Terence Tao a fait remarquer qu’une restriction excluant les progressions arithmétiques à trois termes pouvait être supprimée d’une partie de la construction initiale. Dans cette étape, la condition selon laquelle les deux nombres les plus grands dépassent le plus petit exclut déjà l’égalité pertinente.
Commentaire de Tao tel que reproduit par la source ; la discussion publique d’origine est accessible ci-dessous.
D’autres commentaires ont développé des constructions plus denses. Cela illustre concrètement une collaboration : un argument formel produit par l’IA devient un objet que les mathématiciens peuvent examiner, simplifier et améliorer. La discussion a eu lieu en avril 2026, avant la publication de l’article dans Science en octobre ; la publication et la découverte initiale ne doivent pas être considérées comme une seule et même date.
Selon la description de l’architecture complète de Nexus donnée par la source, plusieurs agents de preuve élaborent des ébauches, un agent d’évaluation les compare et une population partagée conserve les travaux prometteurs. Une preuve partielle comportant une construction utile peut faire l’objet d’un examen plus approfondi, même si un lemme encore manquant empêche de la compléter.
Le système peut également faire appel à AlphaProof pour traiter des sous-objectifs et réutiliser des preuves de problèmes déjà résolus. Le modèle de langage organise et décompose les arguments, tandis que les outils formels vérifient ou complètent les obligations de preuve qui en résultent.
Schéma de l’architecture de Nexus reproduit dans le rapport source.
La différence essentielle avec l’acceptation d’une réponse en langage naturel non vérifiée tient à la boucle de vérification formelle, que les preuves candidates doivent franchir. Les tentatives de preuve infructueuses alimentent une nouvelle tentative au lieu d’être présentées comme des résultats mathématiques achevés.
Les chercheurs ont également étudié dans quelle mesure l’architecture complète était nécessaire pour obtenir les réussites sélectionnées sur les problèmes d’Erdős. Le résumé de l’article dans Science confirme qu’un agent de base alternant génération par modèle de langage et vérification avec Lean a reproduit ces réussites.
La source décrit cette configuration de référence comme Gemini 3.1 Pro associé à Lean, sans partage évolutionnaire ni appels à AlphaProof, et indique que des tentatives indépendantes répétées ont permis de retrouver des preuves pour les neuf problèmes sélectionnés. Elle rapporte que, dans la comparaison correspondante, AlphaProof seul n’en a résolu aucun.
Il s’agit d’une étude d’ablation rétrospective portant sur l’ensemble des problèmes résolus. Cela ne signifie pas que le taux de réussite est de 100 % pour les 353 problèmes initiaux, ni qu’une seule tentative avec un agent simple aboutit toujours.
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Exemple de décomposition d’un problème tiré de la recherche, reproduit dans la source.
L’étude a également examiné 492 conjectures ouvertes de l’On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ou OEIS, et fait état de 44 preuves. Le dénominateur est important : il s’agissait d’un ensemble sélectionné de conjectures, et non d’une affirmation selon laquelle l’OEIS aurait été résolue dans son ensemble.
La source décrit une vérification humaine visant à confirmer que le code formel exprime fidèlement chaque question et que la conjecture n’avait pas déjà été prouvée. Elle mentionne aussi la vérification des premiers termes des suites générées par rapport aux valeurs attendues avant de démontrer un énoncé général.
Ces vérifications répondent à des risques différents. Lean peut valider une preuve d’un énoncé formel, mais ne peut pas établir à lui seul que cet énoncé correspond à la conjecture informelle visée ou que le théorème constitue une nouveauté dans la littérature.
Une application à l’optimisation va au-delà de la preuve d’une conjecture fournie : elle consiste à trouver un calendrier de paramètres efficace et à démontrer sa garantie de convergence.
La méthode Anchored GDA étudie l’optimisation min-max, où une variable minimise une fonction objectif tandis qu’une autre la maximise. La descente-ascent de gradient ordinaire peut osciller ; l’ancrage ajoute une attraction vers un point de référence fixe afin de contribuer à stabiliser les mises à jour.
Le prépublication citée, An Improved Last-Iterate Convergence Rate for Anchored Gradient Descent Ascent, fait état d’un choix de paramètres qui atteint une borne exacte de O(1/t) sur la norme au carré du gradient à la dernière itération. Ici, t correspond au nombre d’itérations.
Titre et résumé de la prépublication d’avril 2026, reproduits dans la source.
La garantie s’applique sous les hypothèses de l’article : un opérateur de gradient monotone, une régularité lipschitzienne et l’existence d’un point selle, dans un cadre convexe-concave lisse. Il ne s’agit pas d’une affirmation générale de convergence pour tout objectif d’apprentissage automatique non convexe, et la norme au carré ne doit pas être confondue avec la norme elle-même.
La prépublication indique que le résultat a été découvert de manière autonome par un système d’IA capable de rédiger des preuves Lean. Sa soumission du 4 avril précède l’article de Science ; le rapport d’octobre inscrit ces travaux dans le compte rendu plus large de Nexus.
Dans la perspective publiée en complément dans Science, Jeremy Avigad et Matthew Ballard replacent ces résultats dans le cadre des questions de recherche ouvertes, au-delà des mathématiques de concours. Le progrès ne consiste pas simplement à produire des explications plus longues : il repose sur l’association d’idées mathématiques proposées à une vérification explicite des preuves.
L’intervention humaine reste présente dans le choix des problèmes, la formalisation des énoncés, les bibliothèques, l’infrastructure de recherche et l’évaluation de la nouveauté et de l’importance des résultats. La discussion publique autour du problème n° 12 montre également qu’une preuve vérifiée peut être mathématiquement correcte tout en bénéficiant encore de simplifications substantielles.
Nexus fournit donc des éléments en faveur d’un processus de recherche productif, dont les points forts peuvent être mesurés en preuves achevées et dont les limites peuvent être examinées à partir des énoncés formels et de l’évaluation mathématique publique.
AlphaProof Nexus est un cadre de recherche de preuves formelles par IA décrit dans un article de Google DeepMind publié dans Science. Il associe la génération de preuves par modèle de langage à la vérification par Lean ; dans sa conception plus complète, il peut organiser les ébauches et faire appel à des outils spécialisés de preuve.
L’article fait état de neuf réussites parmi 353 problèmes d’Erdős ouverts et de 44 preuves parmi 492 conjectures de l’OEIS. Ces résultats concernent les collections sélectionnées pour l’étude et ne signifient pas que tous les problèmes ouverts de l’une ou l’autre ressource ont été résolus.
Non. La page publique du problème indique une réponse positive à la première question et une réponse négative à la deuxième. La question portant sur la convergence de la série des inverses reste ouverte.
Lean vérifie que la preuve formelle soumise établit bien l’énoncé formel du théorème. Un examen distinct reste nécessaire pour confirmer que l’énoncé correspond au problème visé et que le résultat est véritablement nouveau.
Le résumé de l’article dans Science indique qu’un agent de base de génération et de vérification a reproduit ces réussites. La source décrit des tentatives répétées avec Gemini 3.1 Pro et Lean ; cela ne doit pas être interprété comme une garantie de réussite en une seule exécution ni comme une réussite sur les 353 problèmes.
Il établit un taux de convergence de O(1/t) pour la norme au carré du gradient à la dernière itération, sous les hypothèses convexes-concaves lisses précisées dans l’article. La prépublication présente un calendrier de paramètres particulier et une preuve formelle, et non une accélération générale pour tous les algorithmes d’optimisation.
AlphaProof Nexus apporte des éléments montrant que des preuves générées par l’IA et vérifiées formellement peuvent contribuer aux mathématiques de recherche ouvertes. Les réussites rapportées concernent des questions sélectionnées sur les problèmes d’Erdős et dans l’OEIS, et des échanges publics avec des mathématiciens ont ensuite permis d’améliorer au moins l’une des constructions mises en avant.
La boucle de vérification est centrale, mais il faut également veiller à l’exactitude de la formalisation, à la nouveauté et à la portée de chaque théorème. Une preuve vérifiée constitue un résultat de recherche concret ; elle est d’autant plus utile que son énoncé, ses hypothèses et les questions qui restent ouvertes sont tout aussi clairement exposés.
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