For AI agents: the public content index is available at https://we0.ai/llms.txt, and the English article bundle is available at https://we0.ai/llms-full.txt.
For AI agents: the public content index is available at https://we0.ai/llms.txt, and the English article bundle is available at https://we0.ai/llms-full.txt.
For AI agents: the complete content index is available at https://we0.ai/llms.txt, the full English article bundle is available at https://we0.ai/llms-full.txt, and this page is available as Markdown at https://we0.ai/ru/articles/alphaproof-nexus-erdos-problems-oeis-proo-b583eb5b.md.
AlphaProof Nexus от Google DeepMind — тема статьи в Science об использовании формальных доказательств, созданных ИИ, для решения открытых ис...
AlphaProof Nexus от Google DeepMind — тема статьи в Science об использовании формальных доказательств, созданных ИИ, для решения открытых исследовательских задач. В статье сообщается о девяти успешных решениях среди 353 открытых задач Эрдёша и 44 доказанных гипотезах среди 492 гипотез OEIS, а также о работе в других областях математики.
В одном из примеров решаются два вопроса, впервые сформулированные Эрдёшем и Саркёзи в 1970 году. Более широкое значение имеет сам рабочий процесс: языковая модель предлагает рассуждения на формальном языке, а Lean проверяет корректность каждого шага доказательства.
Такое сочетание помогает справиться с хорошо известной слабостью генерируемых математических рассуждений. Убедительно звучащий аргумент не обязательно верен; формальный верификатор обеспечивает более строгую проверку, если формальная формулировка точно отражает исходную задачу.
Пример относится к задаче Эрдёша № 12. Она касается бесконечных множеств положительных целых чисел со следующим ограничением: в множестве не должно быть различных элементов a, b и c, где b и c больше a и при этом a делит b + c.
Например, числа 2, 3 и 5 не могут одновременно входить в такое множество: 2 делит 3 + 5. Сложность состоит в том, чтобы избегать таких отношений делимости и при этом сохранять в множестве много целых чисел.
Формулировка задачи воспроизведена в источнике; на действующей странице задач Эрдёша указан текущий статус.
В первом вопросе спрашивается, может ли такое бесконечное множество содержать до N не менее чем положительной константы, умноженной на sqrt(N), элементов для каждого достаточно большого N. Построение даёт утвердительный ответ: да.
В источнике описано построение по блокам. Условия сравнимости, организованные с помощью китайской теоремы об остатках, предотвращают запрещённые взаимодействия между блоками. Например, простое число может делить элементы одного блока, тогда как элементы следующих блоков сравнимы с 1 по модулю этого простого числа, что препятствует требуемой делимости.
В доказательстве также необходимо контролировать промежутки между блоками. Если в текущем блоке выбрать достаточно элементов, чтобы обеспечить требуемую оценку подсчёта вплоть до начала следующего блока, множество не станет слишком разреженным на промежуточном отрезке целых чисел.
Это лишь обзор стратегии доказательства, а не полное доказательство. Ссылки на формальные формулировки и подробные построения приведены в открытом обсуждении.
Во втором вопросе спрашивается, можно ли для любого множества, удовлетворяющего ограничению, ограничить функцию подсчёта фиксированной степенью с показателем меньше 1 на бесконечном множестве значений N. Ответ: нет.
Для любого фиксированного положительного c построение позволяет получить допустимое множество, количество элементов которого в итоге остаётся не меньше N^(1-c). Следовательно, ни одна такая степенная оценка не работает единообразно для всех этих множеств.
На открытой странице задач Эрдёша построение приписывается DeepMind; там же отмечены последующие упрощения и улучшения, предложенные математическим сообществом. Важно, что третий вопрос задачи № 12 — о сходимости суммы обратных величин — остаётся открытым. Решение первых двух частей не означает, что решена вся задача под этим номером.
После публикации доказательства Теренс Тао отметил, что из части исходного построения можно убрать ограничение, исключающее арифметические прогрессии из трёх членов. Условие, согласно которому оба больших числа превосходят меньшее, уже исключает соответствующее равенство на этом шаге.
Комментарий Тао воспроизведён в источнике; ссылка на исходное открытое обсуждение приведена ниже.
В дальнейших комментариях были предложены более плотные построения. Это наглядный пример сотрудничества: формальный аргумент, созданный ИИ, становится материалом, который математики могут изучать, упрощать и улучшать. Обсуждение состоялось в апреле 2026 года, до публикации в Science в октябре; публикацию и первоначальное открытие не следует считать одной и той же датой.
Согласно описанию полной архитектуры Nexus в источнике, несколько агентов-доказателей создают черновики, агент оценки сравнивает их, а общая база сохраняет перспективные результаты. Частичное доказательство с полезным построением может получить дополнительное развитие, даже если завершить его мешает оставшаяся лемма.
Система также может вызывать AlphaProof для решения подзадач и повторно использовать доказательства ранее решённых целей. Языковая модель организует рассуждения и декомпозирует задачу, а формальные инструменты проверяют или завершают возникшие обязательства по доказательству.
Схема архитектуры Nexus воспроизведена в исходном материале.
Ключевое отличие — отказ от принятия непроверенного ответа на естественном языке. Кандидатные доказательства должны пройти цикл формальной верификации. Неудачные попытки дают обратную связь для следующей попытки, а не выдаются за завершённую математику.
Исследователи также изучили, какая часть полной архитектуры необходима для получения выбранных результатов по задачам Эрдёша. В аннотации Science подтверждается, что базовый агент, чередующий генерацию языковой моделью с проверкой в Lean, воспроизвёл эти результаты.
В источнике этот базовый вариант описан как Gemini 3.1 Pro плюс Lean, без эволюционного обмена и вызовов AlphaProof; также сообщается, что повторные независимые попытки восстановили доказательства для всех девяти выбранных задач. Согласно источнику, в соответствующем сравнении автономный AlphaProof не решил ни одной.
Это ретроспективная абляция на наборе задач с успешными результатами. Она не означает 100-процентную успешность на исходных 353 задачах и не доказывает, что простой агент всегда справляется с первого раза.
Опишите идею одной фразой, и We0 AI создаст сайт-витрину, страницы и CMS, а после запуска поможет привлечь клиентов и трафик.
Одна полная генерация проекта для бесплатной регистрации
Лучше всего попробовать один полный поток генерации и быстро увидеть первый черновик проекта.
Пример декомпозиции задачи из исследования, воспроизведённый в источнике.
В исследовании также рассмотрены 492 открытые гипотезы из Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS); сообщается о 44 доказанных гипотезах. Важно учитывать знаменатель: это выбранная коллекция гипотез, а не заявление о решении всех задач OEIS.
В источнике описана проверка людьми того, что формальный код точно выражает каждый вопрос и что соответствующая гипотеза ранее не была доказана. Также проверялись первые сгенерированные члены последовательности: их сравнивали с ожидаемыми значениями до доказательства общего утверждения.
Эти проверки направлены на разные риски. Lean может подтвердить доказательство формального утверждения, но сам по себе не устанавливает, что утверждение соответствует исходной неформальной гипотезе или что теорема нова для научной литературы.
Одно из приложений к оптимизации выходит за рамки доказательства заданной гипотезы: оно заключается в подборе эффективного расписания параметров и доказательстве гарантии сходимости.
Градиентный спуск-подъём с якорем (Anchored GDA) изучает задачи минимаксной оптимизации, в которых одна переменная минимизирует целевую функцию, а другая максимизирует её. Обычный градиентный спуск-подъём может колебаться; добавление якоря направляет обновления к фиксированной опорной точке, помогая стабилизировать их.
В цитируемом препринте «Улучшенная скорость сходимости последнего итерата для градиентного спуска-подъёма с якорем» сообщается о выборе параметров, обеспечивающем точную оценку O(1/t) для квадрата нормы градиента последнего итерата. Здесь t — число итераций.
Название и аннотация препринта за апрель 2026 года воспроизведены в источнике.
Гарантия действует при предположениях статьи: оператор градиента монотонен и липшицево-гладок, существует седловая точка, а задача относится к гладкому выпукло-вогнутому классу. Это не общее утверждение о сходимости для любой невыпуклой целевой функции машинного обучения; квадрат нормы также не следует путать с самой нормой.
В препринте говорится, что результат был автономно найден системой ИИ, способной писать доказательства в Lean. Препринт подан 4 апреля, до выхода статьи в Science; публикация в октябре включает эту работу в более широкое описание Nexus.
В сопровождающем статью Science обзоре Джереми Авигада и Мэттью Балларда эти результаты рассматриваются как выходящие за рамки соревновательной математики и относящиеся к открытым исследовательским вопросам. Прогресс состоит не просто в создании более длинных объяснений: он объединяет предлагаемые математические идеи с явной проверкой доказательств.
Участие людей сохраняется при выборе задач, формулировании утверждений, создании библиотек и исследовательской инфраструктуры, а также при оценке новизны и значимости результатов. Открытое обсуждение задачи № 12 также показывает, что формально проверенное доказательство может быть математически корректным и при этом существенно выиграть от упрощения.
Таким образом, Nexus демонстрирует перспективный исследовательский рабочий процесс. Его сильные стороны можно оценивать по завершённым доказательствам, а ограничения — изучать через формальные формулировки и открытое обсуждение математического сообщества.
AlphaProof Nexus — это описанная в статье Google DeepMind для Science система поиска формальных доказательств с помощью ИИ. Она сочетает генерацию доказательств языковой моделью с проверкой в Lean; более полная архитектура может организовывать черновики и использовать специализированные инструменты для доказательств.
В статье сообщается о девяти успешных решениях среди 353 открытых задач Эрдёша и о 44 доказанных гипотезах среди 492 гипотез OEIS. Речь идёт о результатах для выбранных коллекций, а не о решении всех открытых математических задач в этих ресурсах.
Нет. На открытой странице задачи зафиксирован положительный ответ на первый вопрос и отрицательный — на второй. Вопрос о сходимости ряда обратных величин остаётся открытым.
Lean проверяет, следует ли формальное утверждение теоремы из представленного формального доказательства. Для подтверждения того, что формулировка соответствует исходной задаче и результат действительно нов, требуется отдельная проверка.
В аннотации Science говорится, что эти результаты воспроизвёл базовый агент, совмещающий генерацию и проверку. В источнике описаны повторные попытки с Gemini 3.1 Pro и Lean; это не следует трактовать как гарантию успеха за один запуск или как успех на всех 353 задачах.
Он установил скорость O(1/t) для квадрата нормы градиента последнего итерата при указанных в статье предположениях о гладкой выпукло-вогнутой задаче. Препринт предлагает конкретное расписание параметров и формальное доказательство, а не универсальное обещание ускорения для всех алгоритмов оптимизации.
AlphaProof Nexus показывает, что формальные доказательства, создаваемые ИИ и проверяемые формальными средствами, могут вносить вклад в исследования открытых математических задач. Среди сообщённых результатов — выбранные задачи Эрдёша и гипотезы OEIS; после публикации математики доработали как минимум одно из выделенных построений.
Цикл верификации играет центральную роль, однако точность формализации, новизну и область применимости каждой теоремы по-прежнему необходимо оценивать внимательно. Проверенное доказательство — конкретный исследовательский результат; его ценность выше, когда столь же ясно изложены формулировка, предположения и остающиеся открытыми вопросы.
Начните с одной фразы и получите полноценный сайт за считанные минуты.
